Back

ⓘ Analiza e variacionit eshte nje fushe e matematikes qe merret me ekstremizimin e funksionaleve, ne krahasim me analizen e thjeshte e cila merret me funksionet. ..




                                     

ⓘ Analiza e variacionit

Analiza e variacionit eshte nje fushe e matematikes qe merret me ekstremizimin e funksionaleve, ne krahasim me analizen e thjeshte e cila merret me funksionet. Nje funksional eshte zakonisht nje relacion nga nje bashkesi funksionesh tek numrat reale. Funksionalet jane formuar shpesh si integrale te caktuara te cilat perfshijne funksionet e panjohura dhe derivatet e tyre. Interesi eshte ne funksionet ekstremale qe e bejne funksionalin te arrije nje vlere maksimale apo minimale - ose funksionet stacionare - ku shkalla e ndryshimit te funksionalit eshte pikerisht zero.

Ndoshta shembulli me i thjeshte i nje problemi te tille eshte per te gjetur kurben me gjatesi me te shkurter, ose gjeodezikun, qe lidh dy pika. Nese nuk ka kondita, zgjidhja eshte padyshim nje vije e drejte ne mes te pikave. Megjithate, ne qofte se kurba eshte e detyruar qe te shtrihen ne nje siperfaqe ne hapesire, atehere zgjidhja eshte pak me e veshtire, dhe ka raste qe shume zgjidhje mund te ekzistojne. Zgjidhjet te tilla jane te njohur si gjeodezike. Nje problem i njgjashem eshte paraqitur nga parimi i Ferma: drita ndjek rrugen optike me gjatesi me te shkurter qe lidh dy pika, ku gjatesia optike varet nga lenda e mjedisit ku drita shperhapet. Nje koncept perkates ne mekanike eshte parimi i veprimit minimal.

Shume probleme te rendesishme perfshijne funksionet me disa variablave. Zgjidhjet e problemeve me vlera kufitare per ekuacionin e Laplasit permbushur parimin e Dirichlet. Problemi i Platos kerkon gjetjen e nje zone me siperfaqe minimale qe perfshin nje kontur te caktuar ne hapesire: zgjidhja apo zgjidhjet shpesh mund te gjenden duke zhytur nje kornize teli ne nje solucion me uje me sapun. Edhe pse eksperimente te tilla jane relativisht te lehta per te kryer, interpretimi i tyre eshte shume i thjeshte nga ana matematikore: mund te kete me shume se nje siperfaqe lokale te minimizuar, dhe ato mund te kene topologji qe nuk jane te lehta.

                                     

1. Aplikime

Disa aplikime te analizes se variacionit perfshijne:

  • Problemin e Brakistokrones
  • Derivimin e formes Katenare
  • Kontrolli optimal
  • Problemi izoperimetrik
  • Siperfaqet minimale dhe Problemin e Platos
  • Gjeodesiket mbi siperfaqe
                                     

1.1. Aplikime Parimi i Fermatit

Parimi i Fermatit pohon se drita merr ate shteg qe lokalisht minimizon distancen optike midis dy pikave fundore. Nqs koordianta x merret si parametri pergjate trajektores, dhe y = f x {\displaystyle y=fx} pergjate trajektores, atehere distanca optike jepet nga

A =\int _{t=t_{0}}^{t_{1}}Lx,{\dot {x}},tdt\,}

vshte stacionar ne lidhje me variacionet pergjate shtegut xt. Ekuacionet e Ojler-Lagranzhit per kete sistem jane te njohura si ekuacionet e Lagranzhit:

d t ∂ L ∂ x = ∂ L ∂ x, {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {\partial L}{\partial x}},\,}

keshtu qe ato jane ekuivalente me ekuacionet e levizjes te Njutonit per sisteme te tilla.

Impulset e konjugura P percaktohen nga

p = ∂ L ∂ x. {\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}.\,}

Per shembull, nqs

T = 1 2 m x 2, {\displaystyle T={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2},\,}

atehere

p = m x. {\displaystyle p=m{\dot {x}}.\,}

mekanika e Hamiltonit rezulton nqs impulset e konjuguara vendosen ne vend te x {\displaystyle {\dot {x}}}, dhe Lagranzhiani L zevendesohet me Hamiltonianin H i percaktuar nga

H x, p, t = p x − L x, x, t {\displaystyle Hx,p,t=p\,{\dot {x}}-Lx,{\dot {x}},t\,}

Hamiltonianani eshte energjia totale e sistemit: H = T + U. Analogjia me parimin e Fermat sugjeron se zgjedhjet e ekuacioneve te Lagranzhit trajektorja e therrmijave mund te paraqitet ne terma te siperfaqeve te nje funksioni X. Ky funksion eshte nje zgjidhje e ekuacionit te Hamilton-Jakobit:

∂ ψ ∂ t + H = 0. {\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}+Hx,{\frac {\partial \psi }{\partial x}},t=0.\,}
                                     

2. Libra reference

  • Elsgolc, L.E.: Calculus of Variations, Pergamon Press Ltd., 1962.
  • Clegg, J.C.: Calculus of Variations, Interscience Publishers Inc., 1968.
  • Gelfand, I.M. and Fomin, S.V.: Calculus of Variations, Dover Publ., 2000.
  • Lebedev, L.P. and Cloud, M.J.: The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics, World Scientific, 2003, pages 1–98.
  • Courant, R.: Dirichlets principle, conformal mapping and minimal surfaces. Interscience, 1950.
  • Weinstock, Robert: Calculus of Variations with Applications to Physics and Engineering, Dover, 1974.
  • Bolza, O.: Lectures on the Calculus of Variations. Chelsea Publishing Company, 1904, available on Digital Mathematics library. 2nd edition republished in 1961, paperback in 2005, ISBN 978-1-4181-8201-4.
  • Charles Fox: An Introduction to the Calculus of Variations, Dover Publ., 1987.
  • Courant, R. and D. Hilbert: Methods of Mathematical Physics, Vol I. Interscience Press, 1953.
  • Forsyth, A.R.: Calculus of Variations, Dover, 1960.
  • Sagan, Hans: Introduction to the Calculus of Variations, Dover, 1992.
  • Jost, J. and X. Li-Jost: Calculus of Variations. Cambridge University Press, 1998.


                                     

3. Referime

  • Johan Byström, Lars-Erik Persson, and Fredrik Strömberg, Chapter III: Introduction to the calculus of variations undated.
  • Calculus of variations example problems.
  • Jon Fischer, Introduction to the calculus of variations, a quick and readable guide. Note: There are typos in the Euler-Lagrange Equation on page 5 of the document.
  • Chapter 8: Calculus of Variations, from Optimization for Engineering Systems, by Ralph W. Pike, Louisiana State University.
                                     
  • përzgjedhja e teknikave kërkimore, analiza interpretimi i të dhënave. Pikëpamja tradicionale në shkencë i ka dhënë rëndësi të madhe përvojës në ndërtimin e të
  • historike të variacionit gjenetik të popullatës të lidhur me kolonizimin postglacial dhe rrjedhën e mundshme të gjenit nga një popullatë kineze e shfarosur
  • gjatësisë dhe të gjerësisë gjeografike përjetojmë modele të ndryshme të variacionit të temperaturës gjatë ciklit të përditshëm mërkurrian. Mërkurri është
  • nukleotide mitokondriale dhe 12 alele unike mikrosatrike Modeli i variacionit gjenetik në tigrin e Bengalit korrespondon me premisën që ai mbërriti në Indi rreth

Users also searched:

...
...
...