Back

ⓘ Ekuacione Diferenciale Separabile. Zgjidhja e ekuacionit diferencial ne rastin e pergjithshem do te thote te gjenden te gjitha zgjidhjet e tij. Por kjo arrihet ..




                                     

ⓘ Ekuacione Diferenciale Separabile

Zgjidhja e ekuacionit diferencial ne rastin e pergjithshem do te thote te gjenden te gjitha zgjidhjet e tij. Por kjo arrihet vete ne raste te veçanta.

Per ekuacionin diferencial themi se eshte integruar me ane te kuadrateve ne qofte se zgjidhja e tij e pergjithshme eshte marre ne forme implicite ose eksplicite qe mund te permbaj edhe integral te funksioneve te njohura. Ne shumicen e rasteve ekuacioni diferencial nuk mund te integrohet me ane te kuadraturave edhe pse dihet se zgjidhjet e tij ekzistojne. Ne raste te tilla zbatohen metodat e peraferta te cilat ne shkencat aplikative dhane rezultate te kenaqshme

                                     

1. Hyrje

Supozojme dy ekuacione ƒ dhe g te vazhdueshme ne lidhje me x dhe y. Atehere ekuacioni diferencial i rendit te pare do te jete

d y d x = f y g x. {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={fy}{gx}.}

Ekuacioni me larte munde te shkruhet ne formen

g y d y = f x d x. {\displaystyle gydy=fxdx.}

Ekuacioni me larte e quajme ekuacion me variabla te ndara ose shkurt ekuacione seperabile

Duke integruar te dy anet e ekuacionit marrim ekuacionin

∫ g y d y = ∫ f x d x + C. {\displaystyle \int gydy=\int fxdx+C.}

Ne baze te supozimit per funksionet f dhe g rrjedh se integralet egzistojn dhe duke zgjidhur integralet marrim zgjidhjet e ekuaciomit te pare

                                     

2. Shembuj te ekuacioneve seperabile

1. Te gjendet zgjidhja e pergjithshme e ekuacionit x + 1 d y − x y 2 d x = 0. {\displaystyle x+1dy-xy^{2}dx=0.}

d y 2 = x d x + 1. {\displaystyle {\frac {dy}{y^{2}}}={\frac {xdx}{x+1}}.}

prej nga

− 1 y = x − l n | x + 1 | + C {\displaystyle -{\frac {1}{y}}=x-ln{|x+1|}+C}

d.m.th

y = 1 − x + l n | x + 1 | − C {\displaystyle y={\frac {1}{-x+ln{|x+1|}-C}}}

2. Ekuacioni i gazit ideal

P V = n R T {\displaystyle PV=nRT}

P-shtypja.

V-Vellimi.

n-Numri i Molekulave.

R-Konstantja universale e gazit.

T- Temperatura.

Duke perdorur ekuacionet diferenciale seperabile gjejm Pt

d V d t = − n R T P 2 d P d t {\displaystyle {\frac {dV}{dt}}={\frac {-nRT}{P^{2}}}{\frac {dP}{dt}}}

Ne kohen t=0 shtypja do te jete P=3

d V d t = t 3 {\displaystyle {\frac {dV}{dt}}=t^{3}}

Atehere Pt do te jete.

− t 3 = − n R T P 2 d P d t {\displaystyle -t^{3}={\frac {-nRT}{P^{2}}}{\frac {dP}{dt}}}

dhe

P 0 = 3 {\displaystyle P0=3} − t 3 d t = − n R T d P d t {\displaystyle -t^{3}dt=-nRT{\frac {dP}{dt}}} ∫ 0 t f t 3 d t = n R T ∫ 3 P t f d P d t {\displaystyle \int _{0}^{t_{f}}t^{3}\,dt=nRT\int _{3}^{Pt_{f}}{\frac {dP}{dt}}} t 4 | 0 t f = n R T − 1 P | 3 P t f) {\displaystyle {\frac {t^{4}}{4}}{\bigg |}_{0}^{t_{f}}=nRT{\bigg }-{\frac {1}{P}}{\Bigg |}_{3}^{Pt_{f}}{\bigg)}} t f 4 = n R T − 1 P t f + 1 3) {\displaystyle {\frac {t_{f}^{4}}{4}}=nRT{\bigg }-{\frac {1}{Pt_{f}}}+{\frac {1}{3}}{\bigg)}}

Duke zevendesuar t f = t {\displaystyle t_{f}=t} fitojm

P t = 1 3 + t 4 n R T {\displaystyle Pt={\frac {1}
                                     

3. Perdorimi i ekuacioneve seperabile

Perdorimi i ekuacioneve diferenciale seperabile eshte i shumte.

  • Shkenca Kompjuterike dhe
  • Ne shume drejtime tjera te shkencave aplikative
  • Kimi
  • Inxhinieri Elektrike
  • Inxhinieri Mekanike
  • Fizik
                                     

4. Referime

  • Matematika 2 - Hajdar PeciFakulteti i Inxhinierise Elektrike dhe Kompjuterike
  • Matematika 3Ejup Hamiti dhe Shqipe Lohaj - Permbledhje DetyrashFakulteti i Inxhinieris Elektrike dhe Kompjuterike

Users also searched:

...
...
...